Soluciones de los Problemas.

									Olimpiada de Matemática: “en busca del cero perdido”    Cuarto año COLEGIO DIVINA PASTORA 2010 1)      EN EL FUNERAL DE LA MADRE DE DOS HERMANAS, una de ellas se enamora profundamente de un hombre que jamás había visto y que estaba prestando sus condolencias a los familiares. Las dos hermanas eran las únicas que quedaban ahora como miembros de esa familia. Con la desaparición de la madre ellas dos quedaban como únicas representantes. Después del funeral y ya en la casa de ambas, una hermana le cuenta a la otra lo que le había pasado (y le estaba pasando con ese hombre) del que no sabía quién era y nunca había visto antes. Inmediatamente después, mata a la hermana. Solución: Ellas eran las dos únicas que quedaban representando a la familia; una de las hermanas se había enamorado a primera vista de este hombre y nunca sabría cómo hacer para encontrarlo. Sin embargo, era evidente que él conocía a alguien de la familia; por eso había ido al funeral de la madre. Entonces, la única manera de volver a verlo, sería en un nuevo funeral. Y por eso mata a la hermana 2) El gavilán y las palomas  El gavilán se encuentra con una bandada de palomas y les pregunta:  - ¿A donde vais cien palomas?  - No somos cien.  - ¿Cuantas son?  - Las que somos y tantas cómo las que somos y la mitad de las que somos y la mitad de la mitad de las que somos y contigo, gavilán, somos cien. ¿Cuántas palomas hay? Solución: Puesto que en la suma que da 100 interviene como sumando la mitad de la mitad del número de palomas (que evidentemente es entero), dicho número ha de ser divisible por 4. Tanteando con 40, que es un número claramente aproximado, vemos que: 40 + 40 + 20 + 10 + 1 = 111 Con lo que salta a la vista que ha de ser el anterior múltiplo de 4, que es 36. 3) LA TELA DE ARAÑA         Una araña teje su tela en el marco de una ventana. Cada día duplica la superficie hecha hasta entonces. De esta forma tarda 30 días en cubrir el hueco de la ventana. Si en vez de una araña, fueran dos, ¿cuánto tardarían en cubrir dicho hueco? Solución: 29 días: Cuando una tenga cubierto medio hueco en el día 29, la otra araña también lo tendrá, y entre las dos tendrán la ventana completa Olimpiada de Matemática: “en busca del cero perdido”    Segundo año del Polimodal COLEGIO DIVINA PASTORA 2010 1) CONDENA A MUERTE: En un determinado país donde la ejecución de un condenado a muerte solamente puede hacerse mediante la horca o la silla eléctrica, se da la situación siguiente, que permite a un cierto condenado librarse de ser ejecutado. Llega el momento de la ejecución y sus verdugos le piden que hable, y le manifiestan: "Si dices una verdad, te mataremos en la horca, y si mientes te mataremos en la silla eléctrica". El preso hace entonces una afirmación que deja a los verdugos tan perplejos que no pueden, sin contradecirse, matar al preso ni en la horca, ni en la silla eléctrica. ¿Qué es lo que dijo el condenado? Solución El condenado dice: "Me vas a matar en la silla eléctrica". Y piensan los verdugos: si es verdad lo que ha dicho, no podemos matarlo en la silla eléctrica, puesto que esta forma de ejecución habíamos quedado en reservarla para el caso de que mintiera. Pero, por otra parte, si lo matamos en la horca, habrá mentido en su afirmación, así que tampoco podemos matarlo en la horca porque esta forma de matarlo era para el caso de que dijera la verdad.  Otra solución, creo que también válida, para el acertijo del preso es: "Yo estoy diciendo una mentira". Si lo toman como una verdad miente y si lo toman como una mentira dice la verdad, con lo cual no puede ir ni a la horca ni a la silla electrica. O bien, el condenado dijo "Siempre miento" 2) CON LOS RELOJES DE ARENA: Solamente dispones de dos relojes de arena, cuyas capacidades son de 8 minutos y de 5 minutos. ¿Podrás solo con ellos medir un intervalo de 11 minutos? Solución: Ponemos a vaciar simultáneamente los dos relojes de arena. Cuando se termine de vaciar el de 5 quedará tres minutos todavía al de 8. Le damos la vuelta al de 5 inmediatamente, con lo que cuando termine el de 8, es decir, cuando hayan pasado 8 minutos, habrán transcurrido tres en el de 5, por lo que, inmediatamente le damos la vuelta al de 5 para que termine dentro de tres minutos, que sumados a los 8 minutos medidos en el reloj de 8, son los 11 minutos que se pretendían medir 3) COMPONER LA PULSERA: A un experto joyero le llevan cuatro trozos de cadena, de tres eslabones cada uno, para que los una formando una pulsera. "Para ello, dijo el joyero, tendré que cortar cuatro eslabones, uno de cada trozo, para engarzar los trozos y soldar a continuación cada eslabón cortado. Tendré, en definitiva, que hacer cuatro cortes y cuatro soldaduras". Pero la persona que le encarga el trabajo dice: "No, no es necesario hacer cuatro empalmes. Puede formarse la pulsera con solo tres". ¿Cómo podría hacerse esto? Solución: Basta coger solo uno de los cuatro trozos y cortar sus tres eslabones. Con cada uno de los tres se empalman los otros tres trozos. Y son solo tres. No cuatro. Olimpiada de Matemática: “en busca del cero perdido”    Tercer año del Polimodal COLEGIO DIVINA PASTORA 2010 1) Un automóvil va por la carretera a velocidad constante. En un momento dado pasa por delante de un mojón con un número de cifras. Al cabo de una hora, pasa por delante de otro mojón que lleva las mismas cifras, pero en orden inverso. Una hora más tarde, pasa por delante de un tercer mojón que lleva las mismas cifras separadas por un cero. ¿ A qué velocidad va el automóvil? Solución: Llamaremos x a la cifra de las decenas e y a la de las unidades en el primer mojón; el número será pues 10x + y. En el segundo mojón las cifras están en orden inverso, luego el número será 10y + x. Es evidente que y es mayor que x, ya que el segundo número es mayor que el primero (puesto que el tercero tiene centenas). El número del tercer mojón será 100x + y, ya que las decenas son 0, y además x tiene que ser igual a 1, pues de lo contrario la diferencia entre el tercer mojón y el segundo sería mayor que la diferencia entre el segundo y el primero (evidentemente menor que 100, ya que son números de dos cifras), y el coche no iría a velocidad constante. Tenemos, pues, (100 + y) – (10y + 1) = (10y + 1) – (10 + y), de donde y = 6. Por tanto los mojones llevan los números 16, 61 y 106, y el coche marcha a 45 km por hora 2) CUATRO TRAYECTORIAS: El mayor multimillonario del mundo ha prometido regalar su fortuna a aquel que consiga, con 5 objetos, 4 trayectorias de 3 objetos cada una. Cada trayectoria ha de ser tal que caminando en la misma dirección uno se topa con al menos 3 objetos diferentes.  Solución:  1 objeto en el polo norte, otro en el polo sur y los 3 restantes en linea sobre algun paralelo terrestre.  - Visto desde A la trayectoria 1-2 parece no ser una sola dirección pero visto desde B la trayectoria 1-2 es directamente desde 1 hacia el polo sur, por lo tanto visto desde B del punto 1 al 2 solo hay una trayectoria hacia el sur. - El problema plantea que la trayectoria debe ser caminando en una sola dirección, es imposible caminar del polo norte al polo sur o lo inverso. - Por lo tanto basándonos en la solución arriba mencionada, y si consideramos que la trayectoria puede ser por cualquier parte del globo, es posible conseguir 10 trayectorias de 3 objetos distintos, y no necesariamente en el polo norte o sur. 2) LAS TRES HIJAS: Se encuentran dos matemáticos empedernidos que se vieron en la calle después de muchos años sin coincidir. - ¡Hola!, ¿qué tal?, ¿te casaste?, y... ¿cuántos hijos tienes? - Pues tengo tres hijas. - ¿y qué años tienen? - ¡A ver si lo adivinas!: el producto de las edades de las tres es 36, y su suma es el número del portal que ves enfrente... El ínclito filológico (que no filólogo) duda, y responde: - ¡Me falta un dato! - ¡Ah, sí!, ¡la mayor toca el piano! ¿Qué edad tendrán las tres nenitas? Solución: El número 36 se puede descomponer en tres factores de las siguientes formas: 1, 1, 36 1, 2, 18 1, 3, 12 1, 4, 9 1, 6, 6 2, 2, 9 2, 3, 6 3, 3, 4 Puesto que, evidentemente, el profesor que intenta resolver el acertijo conoce el número de su propia casa, si estas ocho ternas de números sumaran cantidades distintas, hallaría fácilmente las edades de las niñas. Si dice que le falta un dato es porque varias de estas ternas suman lo mismo. Al hacer la comprobación, veremos que todas suman distinto excepto 1-6-6 y 2-2-9, que suman 13, luego ha de ser una de estas dos ternas, ya que de lo contrario el profesor no le habría faltado ningún dato. La aclaración "Mi hija mayor toca el piano" descarta la posibilidad 1-6-6, pues no hay una mayor; luego las edades son 2, 2 y 9 años. Olimpiada de Matemática: “en busca del cero perdido”    Cuarto año COLEGIO DIVINA PASTORA 2010 1) En una mesa hay cinco cartas. Cada carta tiene de un lado un número natural y del otro una letra. Juan afirma:”Cualquier carta que tenga de un lado una vocal tiene un número par del otro lado”. Pedro demostró que Juan mentía dando vuelta una sola carta. 6¿De cuál de las cinco carta se trata? Respuesta: la carta que tiene el tres, por ser un número impar. 2) El reloj de Diego adelanta 10 minutos, pero el cree que le atrasa 5 minutos. El reloj de Carolina atrasa 5 minutos, pero ella cree que adelanta 10 minutos. El reloj de Fernando adelanta 5 minutos, el cree que atrasa 10 minutos. Cada uno de acuerdo con su reloj, sale con el tiempo justo para tomar el tren de las 18 horas.¿quienes pierden el tren? Respuesta: Carolina y María pierden el tren. 3)Dos ruedas dentadas A y B con 840 y 300 dientes respectivamente, fueron acopladas.¿cuántas vueltas deben dar A para que B de una vuelta completa y cuántas son estás? Respuesta: la B da cinco vueltas y la A da 14 vueltas.             Olimpiada de Matemática: “en busca del cero perdido”    Segundo año del Polimodal COLEGIO DIVINA PASTORA 2010 1) Tres lámparas intermitentes se encienden a intervalos de 18,21 y 28 segundos respectivamente. Si todas ellas se encienden juntas al comenzar, encontrar cuantas veces más se encienden juntas en 1 hora. Respuesta:14 veces.                                       logx 2)Hallar la solución de  x       =10. Solución:   x=10 y x=1/10 siendo x un número real. 3)Dado un cuadrado de 1 por 1 hecho por escarbadientes.¿Cuántos escarbadientes adiconal se requieren para extenderlo a un cuadrado de 10 po 10 con todas sus subdivisiones de 1 por 1? Respuesta: 216 adicionales. Olimpiada de Matemática: “en busca del cero perdido”    Tercer año del Polimodal COLEGIO DIVINA PASTORA 2010 1)En una fiesta hay 20 estudiantes. María baila con 7 chicos, Juana con ocho, Mabel con 9 y así hasta la última, Carolina, que baila con todos los chicos. ¿cuántos chicos hay en la fiesta? Respuesta: 13 chicos. 2)Tres equipos de fútbol A,B,C después de tres partidos, en los cuáles jugó con los otros dos, tienen anotados las siguientes goles a favor y en contra. Goles a favor Goles en contra A 6 3 B 3 6 C 4 4 Si se sabe que cada uno de los equipos perdió todos los partidos. ¿cuáles fueron los resultados? Respuesta: Si un equipo perdió todos los partidos entonces tiene menos goles a favor que en contra. Entonces el equipo que perdió todos los partidos es B. Se consideran los siguientes 4 casos: a) B le hizo 3 goles a A y ninguno a C. b)B le hizo 2 goles a A y 1 a C. c)B le hizo 1 gol a A y 2 a C. D)B no le hizo goles a A y le hizo 3 a C. El único caso posible es el b con los siguientes resultados. A a C:3-1; AaB:3-2:C a B:3-1. 3)En un plano cartesiano cada unidad representa 1 metro. Empezando en el origen, una hormiga camina un metro hacia el norte, medio metro hacia el este, un cuarto metro hacia el sur y un octavo hacia el oeste.¿Cuáles son las coordenadas del punto donde terminó el recorrido? Respuesta:(3/8;3/4) OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DIVINA PASTORA 2010: “En busca del cero perdido.” 2º año de secundaria 1)      1) Un albañil tiene 8 ladrillos. Siete ladrillos pesan lo mismo; el otro es ligeramente más pesado. Si el albañil tiene una balanza de platillos, ¿cómo puede encontrar al ladrillo diferente en sólo dos pesadas? 2)   2) Si las manecillas de las horas y de los minutos de un reloj son intercambiadas, ¿cuántas posiciones correspondientes a las horas reales puede indicar el reloj? 3)   3) Mientras hacían sus compras, tres amigas se encontraron en el supermercado. Y como consecuencia de la charla, cada una se olivó algo. Descubran los detalles siguiendo las pistas. SOLUCIONES DE LAS OLIMPIADAS 2º AÑO 1)      El albañil divide a los ladrillos en grupos de 3, 3 y 2 ladrillos. Luego compara, colocando a cada uno en un platillo, los grupos de 3. Si son iguales, el ladrillo más pesado está en el grupo de 2 y será identificado en la próxima pesada. Si no son iguales, compara 2 de los ladrillos pertenecientes al grupo más pesado. Si estos son iguales, el trecer ladrillo es el más pesado. Si no lo son , la balanza indicará cuál es el más pesado. 2)      A medida de que la ahora veloz manecilla de las horas viaja de un número al siguiente, Coincidirá una sola vez con la manecilla de los minutos en la posición correspondiente a una hora “posible”. Por lo tanto, habrá 12 posiciones “posibles” por horay, a lo largo de 12 horas, 144. Pero la posición en que ambas manecillas apuntan hacia arriba ha sido contada 2 veces: si, por ejemplo, iniciamos la cuenta con las agujas en esa posición, volverán a la misma al finalizar las doce horas. La respuesta es, entonces, 143 veces. 3)      SEÑORA COMPRÓ Y OLVIDÓ Laura Carne Jugo Jabón Matilde Fruta Arroz Fideos Sonia Verdura Aceite Fósforos OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DIVINA PASTORA 2010: “En busca del cero perdido.” 3º año de secundaria 1)      1) Gómez y Pérez comenzaron a trabajar para diferentes firmas con el mismo salario. El año pasado Gómez tuvo un aumento de salario del 10 % y Pérez una rebaja del 10 %. Este año fue Pérez quien tuvo un aumento del 10 % y Gómez una rebaja del 10 %. ¿Quién gana más? 2)      2) Encuentren un número de tres dígitos tal que sea igual a la suma de los cubos de sus dígitos. 3)     3) “El asesinato del Petirrojo” Cinco sospechosos fueron interrogados en el famoso caso del asesinato del Petirrojo. Sus declaraciones fueron: A: “C y D mienten”. B: “A y E mienten”. C: “B y D mienten. D: “C y E mienten”. E: “A y B mienten”. ¿Quién miente? 3º AÑO 1)      Sea x el salario original. Luego del aumento, el salario de Gómez fue 11x/10; luego de la rebaja, 9/10*11x/10. Después de la rebaja, el salario de Pérez fue 9x/10; despues del aumento, 11/10*9x/10. En resumen, ambos ganan 99/100 del sueldo original. 2)      Este problema tiene más de una solución posible , según su interpretación: a)     153 = 13 + 53 + 33 b)     371 = 33 + 73 + 13 c)     370 = 33 + 73 + 03 d)     407 = 43+ 03 + 73 3)      Si asumimos que B está diciendido la verdad, entonces, D también la dice ya que ambos coinciden en que E es mentiroso. Si asumimos que B está mintiendo, entonces, C y E dicen la verdad, ya que ambos declaran que B es mentiroso. Sin embargo, en ambos casos A miente. Por lo tanto A es el único sospechoso del que sabemos con certeza que miente. OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DIVINA PASTORA 2010: “En busca del cero perdido.” 2º año de secundaria 4)     1) Los números son divididos en tres grupos de la forma siguiente: 0, 3, 6, 8, 9, …, en el primer grupo; 1, 4, 7, 11, 14, …, en el segundo grupo; y 2, 5, 10, 12, 13, …, en el tercerro. ¿En cuál de los grupos debe siruarse a 15, 16 y 17? 5)     2)  Un hombre tiene piedras de coloresrojo, gris y blanco para construir una vereda. Desea que no haya dos piedras consecutivas que tengan los mismos colores en el mismo orden, que no haya ternas consecutivas que se repitan, etc. Comienza colocando una piedra roja, luego una gris y continúa hasta colocar la séptima piedra. Allí se frena y comprueba que no puede colocar la octava sin repetir alguna de las combinaciones anteriores. ¿Cuáles son los colores de las siete piedras que colocó? 6)       3) Un hombre vive en un edificio en el décimo piso (10). Todos los días toma el ascensor hasta la planta baja para ir a su trabajo. Cuando vuelve, sin embargo, toma el ascensor hasta el séptimo piso y hace el resto del recorrido hasta el piso en el que vive (el décimo) por las escaleras. Si bien el hombre detesta caminar, ¿por qué lo hace? SOLUCIONES 2º RONDA: 2º AÑO: 1)     1) El primer grupo consiste exclusivamente de números con trazos curvos, el segundo, de números de trazos rectos; el tercero, de números de trazos curvos y rectos. Por lo tanto, 15 y 16 irán al tercer grupo, mientras que 17 irá al segundo. 2)      2) Los colores son RGBRBGR. No puede continuar con R porque entonces habría dos R consecutivas. Tampoco puede usar G porque habría dos RG consecutivas. No puede usar B porque habría dos RGRB consecutivas. Esta disposición es única; cualquier otra hubiese permitido colocar una octava piedra. 3)     3)  Obviamente, el señor en cuestión sufre de enanismo. Ése es el problema por el cual no puede subir hasta su departamento por el ascensor: el señor no llega con sus manos hasta el décimo piso. OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DIVINA PASTORA 2010: “En busca del cero perdido.” 3º año de secundaria 4)      1) El número telefónico de Gabriela tiene 8 digitos 5ABCDEFG. Al sumar los numeros ABCD con EFG se obtiene 9.063 y al sumar ABC con DEFG se obtiene 2.529 ¿Cuál es el número telefónico de gabriela? 5)     2)  Enfrente de una pasteleria hay tres padres y dos hijos, y deciden comprar tres pasteles rellenos de crema de chocolate almendrado con un toque de vainilla y canela y tambien con un poco de nata en la coronilla. El caso es que tocan a un pastel cada uno. Los tres padres y los dos hijos se comen cada uno un pastel y solo compran tres. ¿Como se explica esto? 6)     3)  Los tres hermanos Rodriguez han llegado cabizbajos a su casa: es que los tres traen notas firmadas por sus respectivas maestras, señalando su mal comportamiento. Sepa a qué grado va cada uno, cómo se llama la maestra y qué dice la nota que ha hecho el encantador niñito. SOLUCIONES 2º RONDA 3º AÑO: 1)   1)    5 8 3 7 1 6 9 2 5 A B C D E F G 2)    2) Un bisabuelo, abuelo y un padre. 3)    3) NOMBRE GRADO MAESTRA MOTIVO Bruno 6º Verónica pelearse Ezequiel 5º Mabel copiarse Sebastián 4º Claudia no hacer la tarea